বল এবং গতি

CLASS NO: 05

গাণিতিক সমস্যা ও সমাধান

সমস্যা ১: একটি কণা `10 m/s` বেগে `1 min` এবং `20 m/s` বেগে `40 s` গেল। কণার গড় বেগ কত?

• গড় বেগের সূত্র: গড় বেগ = (মোট সরণ) / (মোট সময়)
• প্রথম ক্ষেত্রের সরণ (s₁):
  • বেগ (v₁) = `10 m/s`, সময় (t₁) = `1 min = 60 s`
  • সরণ (s₁) = v₁ × t₁ = `10 × 60 = 600 m`
• দ্বিতীয় ক্ষেত্রের সরণ (s₂):
  • বেগ (v₂) = `20 m/s`, সময় (t₂) = `40 s`
  • সরণ (s₂) = v₂ × t₂ = `20 × 40 = 800 m`
• মোট সরণ এবং মোট সময়:
  • মোট সরণ (S) = s₁ + s₂ = `600 + 800 = 1400 m`
  • মোট সময় (T) = t₁ + t₂ = `60 + 40 = 100 s`
• গড় বেগ: `1400 m / 100 s = 14 m/s`
• উত্তর: কণার গড় বেগ `14 m/s`।

---

সমস্যা ২: এক ব্যক্তি সোজা পূর্বদিকে `8` কিমি যাবার পর দিক পরিবর্তন করে উত্তরদিকে `6` কিমি গেল। ওই ব্যক্তির সরণ কত?

• অতিক্রান্ত দূরত্ব: `8 km + 6 km = 14 km`
• সরণ: সরণ হলো প্রাথমিক ও অন্তিম অবস্থানের মধ্যে সরলরৈখিক দূরত্ব। এখানে একটি সমকোণী ত্রিভুজ তৈরি হয়েছে।
  • ভূমি = `8 km`, লম্ব = `6 km`
  • সরণ (অতিভুজ) = `√(লম্ব² + ভূমি²) = √(6² + 8²) = √(36 + 64) = √100 = 10 km`
• উত্তর: ব্যক্তির সরণ `10 km`।

---

সমস্যা ৩: একটি গতিশীল কণা `7 cm` ব্যাসার্ধের অর্ধবৃত্তাকার পথে এক প্রান্ত থেকে অন্য প্রান্তে গেল। অতিক্রান্ত দূরত্ব ও সরণের মান নির্ণয় করো।

• অতিক্রান্ত দূরত্ব (অর্ধ-পরিধি): `πr = (22/7) × 7 = 22 cm`
• সরণ (বৃত্তের ব্যাস): `2 × r = 2 × 7 = 14 cm`
• উত্তর: অতিক্রান্ত দূরত্ব `22 cm` এবং সরণ `14 cm`।

---

সমস্যা ৪: দৌড় প্রতিযোগিতায় একজন প্রতিযোগী প্রতিযোগিতা শুরুর পরবর্তী `4` সেকেন্ড সময় ধরে `2.5 m/s²` ত্বরণসহ যাচ্ছে। এই সময়ের মধ্যে সে কতটা দূরত্ব অতিক্রম করতে পারবে?

• দেওয়া আছে: u = `0 m/s`, a = `2.5 m/s²`, t = `4 s`
• সূত্র: `s = ut + ½at²`
• সমাধান: `s = (0 × 4) + ½ × 2.5 × (4)² = 0 + ½ × 2.5 × 16 = 20 m`
• উত্তর: প্রতিযোগী `20 m` দূরত্ব অতিক্রম করবে।

---

সমস্যা ৫: `10 m/s` বেগে গতিশীল একটি ট্রেন `2 m/s²` ত্বরণ অর্জন করল। ট্রেনটি `10 s` সময়ে কতটা দূরত্ব অতিক্রম করবে?

• দেওয়া আছে: u = `10 m/s`, a = `2 m/s²`, t = `10 s`
• সূত্র: `s = ut + ½at²`
• সমাধান: `s = (10 × 10) + ½ × 2 × (10)² = 100 + 100 = 200 m`
• উত্তর: ট্রেনটি `200 m` দূরত্ব অতিক্রম করবে।

---

সমস্যা ৬: একটি গাড়ির প্রাথমিক বেগ `10 m/s`। গাড়িটি সমত্বরণে গতিশীল হয়ে `50 m` দূরত্ব অতিক্রম করার পর বেগ হয় `12 m/s`। গাড়ির ত্বরণ কত?

• দেওয়া আছে: u = `10 m/s`, v = `12 m/s`, s = `50 m`
• সূত্র: `v² = u² + 2as`
• সমাধান: `(12)² = (10)² + 2 × a × 50` => `144 = 100 + 100a` => `44 = 100a` => `a = 0.44 m/s²`
• উত্তর: গাড়ির ত্বরণ `0.44 m/s²`।

---

সমস্যা ৭: একটি ট্রেন `90 km/hr` সমবেগে যেতে যেতে ব্রেক কষল এবং `0.5 m/s²` সমমন্দনে চলতে শুরু করল। কতদূর যাওয়ার পর ট্রেনটি থেমে যাবে?

• দেওয়া আছে: u = `90 km/hr = 25 m/s`, a = `0.5 m/s²`, v = `0 m/s`
• সূত্র (মন্দন): `v² = u² - 2as`
• সমাধান: `0² = (25)² - 2 × 0.5 × s` => `0 = 625 - s` => `s = 625 m`
• উত্তর: ট্রেনটি `625 m` যাওয়ার পর থেমে যাবে।

---

সমস্যা ৮: একটি বাস `5 m/s²` ত্বরণ নিয়ে যাত্রা শুরু করল। `6` মিনিটে বাসটি কতদূর যাবে?

• দেওয়া আছে: u = `0 m/s`, a = `5 m/s²`, t = `6 min = 360 s`
• সূত্র: `s = ut + ½at²`
• সমাধান: `s = 0 + ½ × 5 × (360)² = 2.5 × 129600 = 324000 m`
• একক পরিবর্তন: `324000 m = 324 km`
• উত্তর: বাসটি `324 km` যাবে।

---

সমস্যা ৯: স্থির অবস্থা থেকে `8 m/s²` সমত্বরণে চলার `12` সেকেন্ড পর একটি গতিশীল কণার বেগ কত হবে? ওই সময়ের মধ্যে কণাটি কতদূর যাবে?

• দেওয়া আছে: u = `0 m/s`, a = `8 m/s²`, t = `12 s`
• বেগ নির্ণয় (v): `v = u + at = 0 + 8 × 12 = 96 m/s`
• দূরত্ব নির্ণয় (s): `s = ut + ½at² = 0 + ½ × 8 × (12)² = 576 m`
• উত্তর: বেগ হবে `96 m/s` এবং দূরত্ব হবে `576 m`।

---

অন্যান্য সমস্যা (সংক্ষিপ্ত সমাধান)

• একটি নৌকা ৮ সেকেন্ডের জন্য 3.0 m/s² এর ধ্রুব ত্বরণ হারে একটি হ্রদে বিশ্রাম থেকে শুরু করে। এই সময়ে নৌকা কতদূর ভ্রমণ করে?
  u = 0, t = 8s, a = 3 m/s²
  `s = ut + ½at² = 0 + ½ × 3 × (8)² = 96 m`
• একটি বাস বিশ্রাম থেকে শুরু করে এবং অভিন্ন ত্বরণ সহ পাহাড় থেকে নেমে আসে। যদি এটি 10 সেকেন্ডে 200m দূরত্ব অতিক্রম করে, তাহলে এর ত্বরণ কত?
  u = 0, t = 10s, s = 200m
  `s = ut + ½at²` => `200 = ½ × a × (10)²` => `a = 4 m/s²`
• একটি গাড়ি 5 m/s থেকে 10 m/s গতিতে 1 m/s² এর অভিন্ন ত্বরণে চলে। এই সময়ে গাড়ি দ্বারা ভ্রমণ করা দূরত্ব খুঁজুন।
  u = 5 m/s, v = 10 m/s, a = 1 m/s²
  `v² = u² + 2as` => `(10)² = (5)² + 2 × 1 × s` => `s = 37.5 m`

ধন্যবাদ