বল এবং গতি

CLASS NO: 03

গতির সমীকরণ এবং তাদের প্রমাণ

কোনো বস্তু যখন সরলরেখা বরাবর সমত্বরণে (uniform acceleration) চলে, তখন তার গতিকে কয়েকটি সমীকরণের মাধ্যমে প্রকাশ করা যায়। এই সমীকরণগুলিকেই গতির সমীকরণ বলা হয়।

প্রমাণের আগে, আমরা ধরে নিই:

• বস্তুর প্রাথমিক বেগ (Initial Velocity) = u
• `t` সময় পর বস্তুর অন্তিম বেগ (Final Velocity) = v
• এই সময়ে বস্তুর সমত্বরণ (Acceleration) = a
• এই সময়ে বস্তুটি মোট দূরত্ব (Displacement) অতিক্রম করে = s

1. প্রথম সমীকরণ: v = u + at -এর প্রমাণ

এই সমীকরণটি বেগ, ত্বরণ এবং সময়ের মধ্যে সম্পর্ক স্থাপন করে।

আমরা জানি, ত্বরণের সংজ্ঞা অনুযায়ী: ত্বরণ = (বেগের পরিবর্তন) / (সময়)

• এখন, সমীকরণের দুই পাশে `t` দিয়ে গুণ করে পাই:
  `at = v - u`
• এবার, `-u` কে সমীকরণের বাম পাশে নিয়ে এলে তা `+u` হয়ে যাবে:
  `at + u = v`
• সাজিয়ে লিখলে আমরা পাই:
  v = u + at (প্রমাণিত)

2. দ্বিতীয় সমীকরণ: s = ut + ½at² -এর প্রমাণ

এই সমীকরণটি সরণ, বেগ, ত্বরণ এবং সময়ের মধ্যে সম্পর্ক দেখায়।

আমরা জানি, অতিক্রান্ত দূরত্ব (সরণ) = গড় বেগ × সময়

• গড় বেগ = `(u + v) / 2`। সুতরাং,
  `s = ((u + v) / 2) × t`
• এখন, প্রথম সমীকরণ থেকে আমরা জানি `v = u + at`। এই `v`-এর মানটি উপরের সমীকরণে বসিয়ে পাই:
  `s = (u + (u + at)) / 2 × t`
• ব্র্যাকেটের ভেতরে যোগ করলে পাই:
  `s = ((2u + at) / 2) × t`
• ব্র্যাকেটের ভেতরের রাশিকে আলাদা করলে হয়:
  `s = (2u/2 + at/2) × t`
  `s = (u + ½at) × t`
• এখন, বাইরের `t` দিয়ে গুণ করে পাই:
  s = ut + ½at² (প্রমাণিত)

3. তৃতীয় সমীকরণ: v² = u² + 2as -এর প্রমাণ

এই সমীকরণটি বেগ, ত্বরণ এবং সরণের মধ্যে সম্পর্ক স্থাপন করে।

আমরা প্রথম সমীকরণ থেকে শুরু করি: `v = u + at`

• এবার, সমীকরণের উভয় পক্ষকে বর্গ (square) করে পাই:
  `v² = (u + at)²`
• আমরা জানি, `(a+b)² = a² + 2ab + b²`। এই সূত্রটি ব্যবহার করে পাই:
  `v² = u² + 2(u)(at) + (at)²`
  `v² = u² + 2uat + a²t²`
• এবার ডানদিকের শেষ দুটি পদ (`2uat + a²t²`) থেকে আমরা `2a` কমন নেব:
  `v² = u² + 2a (ut + ½at²)`
  (লক্ষ্য করো: `2a` দিয়ে `ut`-কে গুণ করলে `2uat` এবং `½at²`-কে গুণ করলে `a²t²` পাওয়া যায়।)
• আমরা দ্বিতীয় সমীকরণ থেকে জানি, `s = ut + ½at²`। এই মানটি উপরের সমীকরণে বসিয়ে পাই:
  v² = u² + 2as (প্রমাণিত)

4. চতুর্থ সমীকরণ: sₜ = u + ½a(2t - 1) -এর প্রমাণ

এই সমীকরণটি কোনো নির্দিষ্ট সেকেন্ডে (যেমন, 5-তম বা 10-তম সেকেন্ডে) অতিক্রান্ত দূরত্ব বের করতে ব্যবহৃত হয়।

মূল ধারণা: `t`-তম সেকেন্ডে অতিক্রান্ত দূরত্ব (`sₜ`) হলো মোট `t` সেকেন্ডে অতিক্রান্ত দূরত্ব এবং মোট `(t-1)` সেকেন্ডে অতিক্রান্ত দূরত্বের বিয়োগফল।

• `sₜ = (t সেকেন্ডে মোট দূরত্ব) - ((t-1) সেকেন্ডে মোট দূরত্ব)`
• আমরা জানি, `s = ut + ½at²`। তাহলে:
  `t` সেকেন্ডে দূরত্ব = `ut + ½at²`
  `(t-1)` সেকেন্ডে দূরত্ব = `u(t-1) + ½a(t-1)²`
• এবার বিয়োগ করি:
  `sₜ = (ut + ½at²) - [u(t-1) + ½a(t-1)²]`
• ব্র্যাকেটের ভেতরের অংশটি সমাধান করে এবং মূল সমীকরণে বসিয়ে পাই:
  `sₜ = ut + ½at² - (ut - u + ½at² - at + ½a)`
• ব্র্যাকেট তুলে দিলে (ভেতরের সব চিহ্ন পাল্টে যাবে):
  `sₜ = ut + ½at² - ut + u - ½at² + at - ½a`
• একই রকম পদগুলো কাটাকাটি করলে (`ut` ও `½at²`) অবশিষ্ট থাকে:
  `sₜ = u + at - ½a`
• শেষ দুটি পদ থেকে `½a` কমন নিলে পাই:
  sₜ = u + ½a(2t - 1) (প্রমাণিত)

জেনে রাখো (Important Notes)

• সমমন্দনের ক্ষেত্রে (For Retardation): মন্দনকে ঋণাত্মক ত্বরণ (`-a`) হিসেবে ধরা হয়। তাই উপরের সব সমীকরণে `a`-এর জায়গায় `-a` বসালে মন্দনের সমীকরণ পাওয়া যায়।
  • `v = u - at`
  • `s = ut - ½at²`
  • `v² = u² - 2as`
• স্থির অবস্থা থেকে যাত্রা শুরু করলে (Starts from Rest): প্রাথমিক বেগ `u = 0` হয়।
  • `v = at`
  • `s = ½at²`
• সমবেগে চললে (Constant Velocity): বস্তুর ত্বরণ থাকে না, অর্থাৎ `a = 0` হয়।
  • `v = u` (বেগ অপরিবর্তিত থাকে)
  • `s = ut`

ধন্যবাদ