অধ্যায়: বিগত বছরের প্রশ্নপত্র (সেট ৪)

ব্যাখ্যা:
কোনো পরিবাহীর রোধ (R), রোধাঙ্ক (ρ), দৈর্ঘ্য (L) এবং প্রস্থচ্ছেদের ক্ষেত্রফল (A)-এর মধ্যে সম্পর্কটি হল:
R = ρ * (L/A)
এখান থেকে আমরা পাই, রোধাঙ্ক (ρ) = R * (A/L)

প্রশ্ন অনুযায়ী, তিনটি তারের দৈর্ঘ্য (L) এবং প্রস্থচ্ছেদের ক্ষেত্রফল (A) সমান। অর্থাৎ (A/L) রাশিটি তিনটি তারের ক্ষেত্রেই ধ্রুবক।
সুতরাং, রোধাঙ্ক (ρ) সরাসরি রোধের (R) সমানুপাতিক (ρ ∝ R)।
এর অর্থ, রোধের অনুপাত যা হবে, রোধাঙ্কের অনুপাতও তাই হবে।

তার তিনটির রোধের অনুপাত = R_A : R_B : R_C = 0.5 : 0.2 : 1
অনুপাতটিকে পূর্ণসংখ্যায় আনার জন্য প্রতিটি পদকে 10 দিয়ে গুণ করে পাই:
(0.5 × 10) : (0.2 × 10) : (1 × 10) = 5 : 2 : 10
সুতরাং, তাদের রোধাঙ্কের অনুপাত হবে 5 : 2 : 10।

ব্যাখ্যা:
ড‍্যোবেরেইনারের ত্রয়ী সূত্র (Dobereiner's Triad Law) অনুযায়ী, রাসায়নিকভাবে সদৃশ তিনটি মৌলের মধ্যে মাঝের মৌলটির পারমাণবিক ভর অন্য দুটি মৌলের পারমাণবিক ভরের গড়ের প্রায় সমান হয়।
এখানে ত্রয়ীটি হল ক্লোরিন (Cl), ব্রোমিন (Br) এবং আয়োডিন (I)।

• ক্লোরিনের পারমাণবিক ভর ≈ 35.5
• আয়োডিনের পারমাণবিক ভর ≈ 126.9

ক্লোরিন এবং আয়োডিনের পারমাণবিক ভরের গড় = (35.5 + 126.9) / 2 = 162.4 / 2 = 81.2
এই গড় মানটি মাঝের মৌল ব্রোমিনের পারমাণবিক ভরের (প্রায় 79.9) খুব কাছাকাছি। প্রশ্নটি আসলে এই গড় মানটি কোন মৌলের পারমাণবিক ভরের কাছাকাছি তা জানতে চেয়েছে, যা হল ব্রোমিন (79.9)।

ব্যাখ্যা:
বৃক্কের গ্লোমেরিউলাসে প্রতিদিন প্রায় 180 লিটার তরল (গ্লোমেরুলার ফিলট্রেট) পরিশ্রুত হয়। কিন্তু এর প্রায় 99% জল এবং প্রয়োজনীয় লবণ ও গ্লুকোজ বৃক্কীয় নালিকা দ্বারা পুনঃশোষিত (reabsorbed) হয়ে রক্তে ফিরে যায়। চূড়ান্তভাবে যে পরিমাণ মূত্র তৈরি হবে তা দুটি প্রধান বিষয়ের উপর নির্ভর করে:

1. দেহে অতিরিক্ত জলের পরিমাণ: দেহে জলের পরিমাণ বেশি থাকলে কম জল পুনঃশোষিত হয় এবং বেশি মূত্র উৎপন্ন হয়।
2. রেচন পদার্থের পরিমাণ: দেহে উৎপন্ন বর্জ্য পদার্থ (যেমন ইউরিয়া) নির্গত করার জন্য ন্যূনতম যে পরিমাণ জলের প্রয়োজন, তা দেহ থেকে বের হবেই।

সুতরাং, চূড়ান্ত মূত্রের পরিমাণ এই দুটি বিষয়ের সম্মিলিত ফল।

ব্যাখ্যা:
ওহমের সূত্র অনুযায়ী, বিভব প্রভেদ (V) = তড়িৎপ্রবাহ (I) × রোধ (R)।
যেহেতু রোধটি ওহমের সূত্র মেনে চলে, তাই রোধ (R) ধ্রুবক থাকবে।
R = V / I

ধাপ ১: রোধের মান নির্ণয়
ছকের প্রথম মান থেকে রোধ নির্ণয় করি:
R = 0.8 ভোল্ট / 0.2 অ্যাম্পিয়ার = 4 Ω (ওহম)

ধাপ ২: X-এর মান নির্ণয়
X হল বিভব প্রভেদ (V) যখন তড়িৎপ্রবাহ (I) = 0.6 অ্যাম্পিয়ার।
X = I × R = 0.6 × 4 = 2.4 ভোল্ট

ধাপ ৩: Y-এর মান নির্ণয়
Y হল তড়িৎপ্রবাহ (I) যখন বিভব প্রভেদ (V) = 4.8 ভোল্ট।
Y = V / R = 4.8 / 4 = 1.2 অ্যাম্পিয়ার

সুতরাং, X = 2.4 এবং Y = 1.2।

ব্যাখ্যা:
এখানে সম্পর্কটি খুঁজে বের করতে হবে।
প্রথম উদাহরণ: FLM : AGH

• F (6) → A (1) : পার্থক্য -5
• L (12) → G (7) : পার্থক্য -5
• M (13) → H (8) : পার্থক্য -5

সম্পর্কটি হল: প্রতিটি অক্ষর তার 5 ঘর আগের অক্ষর দ্বারা প্রতিস্থাপিত হয়েছে।

এবার বিকল্পগুলি পরীক্ষা করি:

• (A) TED : PZX → T(20) - 5 = O(15), কিন্তু এখানে P আছে। (ভুল)
• (B) FIN : ACJ → F(6) - 5 = A(1); I(9) - 5 = D(4), কিন্তু এখানে C আছে। (ভুল)
• (C) RUG : MPB → R(18) - 5 = M(13); U(21) - 5 = P(16); G(7) - 5 = B(2)। (সঠিক)
• (D) MAP : HWL → M(13) - 5 = H(8); A(1) - 5 = V(22), কিন্তু এখানে W আছে। (ভুল)

সুতরাং, শুধুমাত্র (C) বিকল্পটি প্রদত্ত সম্পর্কটি মেনে চলে।

ব্যাখ্যা:
এখানে সংখ্যাগুলির মধ্যে একটি নির্দিষ্ট প্যাটার্ন রয়েছে।

• প্রথম জোড়: 72 = 8 × 9 এবং 90 = 9 × 10
• দ্বিতীয় জোড়: 110 = 10 × 11 এবং 132 = 11 × 12
• তৃতীয় জোড়: 156 = 12 × 13

প্যাটার্নটি হল: n × (n+1) : (n+1) × (n+2)
তৃতীয় জোড়ের ক্ষেত্রে, n = 12।
সুতরাং, প্রশ্নচিহ্ন (?) চিহ্নিত স্থানের সংখ্যাটি হবে (12+1) × (12+2) = 13 × 14।
13 × 14 = 182

ব্যাখ্যা:
ধাপ ১: প্রাথমিক অবস্থা

• আয় = 45000 টাকা
• সঞ্চয় = 45000-এর 12.5% = 45000 × (12.5/100) = 45000 × (1/8) = 5625 টাকা
• খরচ = আয় - সঞ্চয় = 45000 - 5625 = 39375 টাকা

ধাপ ২: পরিবর্তিত অবস্থা

• নতুন আয় (18% বৃদ্ধি) = 45000 × (1 + 18/100) = 45000 × 1.18 = 53100 টাকা
• নতুন খরচ (20% বৃদ্ধি) = 39375 × (1 + 20/100) = 39375 × 1.20 = 47250 টাকা
• নতুন সঞ্চয় = নতুন আয় - নতুন খরচ = 53100 - 47250 = 5850 টাকা

ধাপ ৩: সঞ্চয়ের পরিবর্তন

• সঞ্চয়ের পরিবর্তন = নতুন সঞ্চয় - প্রাথমিক সঞ্চয় = 5850 - 5625 = 225 টাকা

সুতরাং, তার সঞ্চয় 225 টাকা বৃদ্ধি পাবে।

ব্যাখ্যা:
আসান্নমানে (approximation) হিসাব করতে হবে।

• 2.34 ≈ 2
• 6.01 ≈ 6
• 3.86 ≈ 4
• 1.91 ≈ 2
• 2.01 ≈ 2
• 4.02 ≈ 4

এবার BODMAS নিয়ম অনুযায়ী সমাধান করি:
= 2 + 6 – (4 ÷ 2) + 2 × 4
= 2 + 6 – 2 + 8
= 8 – 2 + 8
= 6 + 8
= 14

ব্যাখ্যা:
বিবৃতিটি ভেঙে লিখলে পাই:

1. Q = R
2. R > T
3. T > S
4. S < U
5. U = V

সিদ্ধান্ত I: T > Q
বিবৃতি থেকে আমরা পাই Q = R এবং R > T।
এর অর্থ হল Q > T।
কিন্তু সিদ্ধান্ত I বলছে T > Q, যা বিবৃতির বিপরীত। সুতরাং, সিদ্ধান্ত I মিথ্যা।

সিদ্ধান্ত II: T < V
বিবৃতি থেকে আমরা পাই T > S এবং S < U = V।
অর্থাৎ, T এবং V উভয়ই S-এর থেকে বড়। কিন্তু T এবং V-এর মধ্যে সরাসরি কোনো সম্পর্ক স্থাপন করা যায় না।
উদাহরণ: যদি S=2 হয়, তবে T=5 এবং V=4 হতে পারে (T>V)। আবার, T=3 এবং V=6 হতে পারে (T যেহেতু কোনো নিশ্চিত সম্পর্ক নেই, তাই সিদ্ধান্ত II মিথ্যা।
সুতরাং, কোনো সিদ্ধান্তই সত্য নয়।

ব্যাখ্যা:
বামপক্ষের রাশিমালাটিকে (LHS) সরল করব এবং তারপর ডানপক্ষের (RHS) সাথে তুলনা করে 'k'-এর মান নির্ণয় করব।

ধাপ ১: লব (Numerator)-এর সরলীকরণ
লব = (cosecθ - sinθ)(secθ - cosθ)(tanθ + cotθ)

• (cosecθ - sinθ) = (1/sinθ - sinθ) = (1 - sin²θ)/sinθ = cos²θ/sinθ
• (secθ - cosθ) = (1/cosθ - cosθ) = (1 - cos²θ)/cosθ = sin²θ/cosθ
• (tanθ + cotθ) = (sinθ/cosθ + cosθ/sinθ) = (sin²θ + cos²θ)/(sinθcosθ) = 1/(sinθcosθ)

তিনটি অংশকে গুণ করে পাই:
লব = (cos²θ/sinθ) × (sin²θ/cosθ) × (1/(sinθcosθ)) = (cos²θ · sin²θ) / (sin²θ · cos²θ) = 1

ধাপ ২: হর (Denominator)-এর সরলীকরণ
হর = cosθ(secθ - tanθ)²(secθ + tanθ)
যেহেতু (secθ - tanθ)²(secθ + tanθ) = (secθ - tanθ)(sec²θ - tan²θ) = (secθ - tanθ)(1) = secθ - tanθ
সুতরাং, হর = cosθ × (secθ - tanθ) = cosθ × (1/cosθ - sinθ/cosθ) = cosθ × ((1 - sinθ)/cosθ) = 1 - sinθ

ধাপ ৩: লব ও হর-এর মান বসিয়ে k-এর মান নির্ণয়
LHS = লব / হর = 1 / (1 - sinθ)।
প্রশ্ন অনুযায়ী, 1 / (1 - sinθ) = 1 / (1 - k)
উভয়পক্ষের তুলনা করে পাই: k = sinθ

ব্যাখ্যা:
ধাপ ১: মূলধন (P) নির্ণয়

• বার্ষিক সুদের হার (R) = 15%
• 8 মাস অন্তর সুদের হার (r) = 15% × (8/12) = 10%
• সময় (T) = 2 বছর = 24 মাস
• পর্বের সংখ্যা (n) = 24 মাস / 8 মাস = 3
• সুদে-আসল (A) = 98494 টাকা

সূত্র: A = P (1 + r/100)ⁿ
98494 = P (1 + 10/100)³ = P (1.1)³ = P × 1.331
P = 98494 / 1.331 = 74000 টাকা।

ধাপ ২: বার্ষিক চক্রবৃদ্ধি সুদে সুদ-আসল নির্ণয়

• মূলধন (P) = 74000 টাকা
• বার্ষিক সুদের হার (R) = 15%
• সময় (T) = 2 বছর

সূত্র: A = P (1 + R/100)ᵀ
A = 74000 (1 + 15/100)² = 74000 (1.15)²
A = 74000 × 1.3225 = 97865 টাকা।

ব্যাখ্যা:
ধাপ ১: প্রাথমিক ক্রয়মূল্য নির্ণয়
ধরি, ধার্যমূল্য (MP) = 100 টাকা।
দুটি ক্রমিক ছাড়ের পর বিক্রয়মূল্য (SP) = 100 × (1 - 25/100) × (1 - 10/100) = 100 × 0.75 × 0.90 = 67.5 টাকা।
এই বিক্রয়মূল্যে 25% লাভ হয়।
ক্রয়মূল্য (CP) = SP / (1 + লাভ%/100) = 67.5 / 1.25 = 54 টাকা।

ধাপ ২: নতুন বিক্রয়মূল্য নির্ণয়
নতুন ক্রয়মূল্য (30% বৃদ্ধি) = 54 × 1.3 = 70.2 টাকা।
লাভের হার একই (25%) থাকবে।
নতুন বিক্রয়মূল্য (New SP) = 70.2 × 1.25 = 87.75 টাকা।

ধাপ ৩: নতুন একক ছাড় নির্ণয়
ধার্যমূল্য একই আছে (MP = 100 টাকা)।
নতুন ছাড় = 100 - 87.75 = 12.25 টাকা।
ছাড়ের শতাংশ = (12.25 / 100) × 100 = 12.25%।
(সঠিক উত্তরটি 12.25%, যা বিকল্প (D) 12.20%-এর খুব কাছাকাছি।)

ব্যাখ্যা:
এটি একটি দ্বিঘাত সমীকরণ। আমরা এটিকে উৎপাদকে বিশ্লেষণ (factorization) করে সমাধান করতে পারি।
x² - 4x + 3 = 0
x² - 1x - 3x + 3 = 0
x(x - 1) - 3(x - 1) = 0
(x - 1)(x - 3) = 0
সুতরাং, হয় (x - 1) = 0 অথবা (x - 3) = 0
x = 1 অথবা x = 3
সমীকরণের বীজ দুটি হল 1 এবং 3।

ব্যাখ্যা:
আমাদের এমন একটি সংখ্যা খুঁজতে হবে যা নিম্নলিখিত শর্তগুলি পূরণ করে:

1. পারফিউম হতে হবে (বৃত্তের ভিতরে)।
2. ডিওড্র্যান্ট হতে হবে (আয়তক্ষেত্রের ভিতরে)।
3. কিন্তু সাবান নয় (ত্রিভুজের বাইরে)।

চিত্রটি বিশ্লেষণ করলে দেখা যায়:
ধাপ ১: বৃত্ত (পারফিউম) এবং আয়তক্ষেত্র (ডিওড্র্যান্ট) উভয়ের মধ্যে থাকা সংখ্যাগুলি হল 17 এবং 73।
ধাপ ২: এই দুটি সংখ্যার মধ্যে, 17 ত্রিভুজের (সাবান) ভিতরে আছে, কিন্তু 73 ত্রিভুজের বাইরে আছে।
সুতরাং, যে সংখ্যাটি পারফিউম ও ডিওড্র্যান্ট কিন্তু সাবান নয়, সেটি হল 73।