অধ্যায়: ছায়া প্রকাশনী (Practice Set 2)

ব্যাখ্যা: প্রথমে, 800 এবং 15 যোগ করলে 815 হয়। এরপর, 815 থেকে 3 1/3 (যা প্রায় 3.33) বিয়োগ করতে হবে। সুতরাং, 815 - 3.33 = 811.67 (প্রায়)। তাই সঠিক উত্তর হলো (C)।

ব্যাখ্যা (ধাপে ধাপে):

• ধাপ ১: সমীকরণের বাম দিকের মান নির্ণয় করা।
  • 850-এর 20% = 850 × (20/100) = 850 × (1/5) = 170।
• ধাপ ২: এখন সমীকরণটি হলো 170 = 170-এর ?%
• ধাপ ৩: ধরি, নির্ণেয় শতাংশ x।
  • 170 = 170 × (x/100)
  • 1 = x/100
  • x = 100।

সুতরাং, 170 হলো 170-এর 100%।

ব্যাখ্যা (ধাপে ধাপে):

• BODMAS নিয়ম অনুযায়ী প্রথমে বন্ধনী বা মূল (root)-এর কাজ করতে হবে।
• ধাপ ১: √25 এর মান নির্ণয় করা। √25 = 5।
• ধাপ ২: এবার রাশিটি দাঁড়ালো 5 × 5 + 5 + 5।
• ধাপ ৩: গুণের কাজ আগে করতে হবে। 5 × 5 = 25।
• ধাপ ৪: এবার যোগ করতে হবে। 25 + 5 + 5 = 35।

ব্যাখ্যা (ধাপে ধাপে):

• ধাপ ১: ধরি, বিজয়ের বর্তমান বয়স 6x বছর এবং সঞ্জয়ের বর্তমান বয়স 7x বছর।
• ধাপ ২: 3 বছর পর, বিজয়ের বয়স হবে (6x + 3) বছর এবং সঞ্জয়ের বয়স হবে (7x + 3) বছর।
• ধাপ ৩: প্রশ্নানুসারে, 3 বছর পর তাদের বয়সের অনুপাত হবে 7 : 8।
  • (6x + 3) / (7x + 3) = 7 / 8
• ধাপ ৪: সমীকরণটি সমাধান করা।
  • 8(6x + 3) = 7(7x + 3)
  • 48x + 24 = 49x + 21
  • 49x - 48x = 24 - 21
  • x = 3
• ধাপ ৫: বিজয়ের বর্তমান বয়স নির্ণয় করা।
  • বিজয়ের বর্তমান বয়স = 6x = 6 × 3 = 18 বছর।

ব্যাখ্যা (ধাপে ধাপে):

• ধাপ ১: স্রোতের বেগ নির্ণয় করা।
  • স্রোতের প্রতিকূলে বেগ = (নৌকার বেগ - স্রোতের বেগ)
  • 7 = 15 - স্রোতের বেগ
  • স্রোতের বেগ = 15 - 7 = 8 কিমি/ঘণ্টা।
• ধাপ ২: স্রোতের অনুকূলে বেগ নির্ণয় করা।
  • স্রোতের অনুকূলে বেগ = (নৌকার বেগ + স্রোতের বেগ)
  • অনুকূলে বেগ = 15 + 8 = 23 কিমি/ঘণ্টা।

ব্যাখ্যা:

• সূত্র: যদি কোনো জিনিসের দাম x% বাড়ে, তবে খরচ অপরিবর্তিত রাখতে ব্যবহার কমাতে হবে [x / (100 + x)] × 100 %।
• ধাপ ১: সূত্রে মান বসানো। এখানে x = 20।
  • ব্যবহার হ্রাস = [20 / (100 + 20)] × 100 %
  • = (20 / 120) × 100 %
  • = (1 / 6) × 100 % = 100/6 % = 50/3 % = 16 2/3%।

ব্যাখ্যা: চক্রবৃদ্ধি সুদের ক্ষেত্রে সুদের হার নির্ণয় করতে হলে আসল (Principal), সময় (Time), এবং সুদ-আসল (Amount) এই তিনটি রাশির মধ্যে অন্তত দুটি জানা প্রয়োজন। এখানে শুধুমাত্র সময় (2 বছর) এবং সুদ-আসল (5375 টাকা) দেওয়া আছে। আসল টাকার পরিমাণ না জানায় সুদের হার নির্ণয় করা সম্ভব নয়।

ব্যাখ্যা (ধাপে ধাপে):

• ধাপ ১: প্রত্যেকের একদিনের কাজের পরিমাণ নির্ণয় করা।
  • A একা 1 দিনে কাজ করে = 1/12 অংশ।
  • A ও B একত্রে 1 দিনে কাজ করে = 1/6 অংশ।
• ধাপ ২: B-এর একদিনের কাজের পরিমাণ নির্ণয় করা।
  • B একা 1 দিনে কাজ করে = (A ও B-এর একত্রে 1 দিনের কাজ) - (A-এর 1 দিনের কাজ)
  • = (1/6) - (1/12)
  • = (2 - 1) / 12 = 1/12 অংশ।
• ধাপ ৩: B একা কাজটি কতদিনে করবে তা নির্ণয় করা।
  • B 1/12 অংশ কাজ করে 1 দিনে।
  • সুতরাং, B সম্পূর্ণ (1 অংশ) কাজ করবে 12 দিনে।

ব্যাখ্যা:

• ধরি A, B, এবং C টাকা পায় যথাক্রমে 3x, 5x, এবং 4x।
• A ও B-এর মোট অর্থ = 3x + 5x = 8x।
• প্রশ্নানুসারে, (A+B)-এর অর্থ C-এর থেকে 500 টাকা বেশি।
• 8x - 4x = 500 => 4x = 500 => x = 125।
• A-এর প্রাপ্ত অর্থ = 3x = 3 × 125 = 375 টাকা।

দ্রষ্টব্য: প্রশ্নপত্রে দেওয়া অনুপাত 8:5:4 ভুল। সঠিক অনুপাত 3:5:4 ধরে সমাধান করা হলো। যদি প্রশ্নপত্রের অনুপাত 8:5:4 ধরা হয়, তাহলে A-এর প্রাপ্ত অর্থ হবে 4000/9, যা কোনো বিকল্পের সাথে মেলে না।

ব্যাখ্যা:

• ধরি, সংখ্যাটি x।
• সংখ্যাটির তিন-চতুর্থাংশ = x × (3/4)।
• তার দুই-তৃতীয়াংশ = [x × (3/4)] × (2/3)।
• প্রশ্নানুসারে, x × (3/4) × (2/3) = 50।
• x × (6/12) = 50 => x × (1/2) = 50 => x = 50 × 2 = 100।

ব্যাখ্যা:

• ধরি, দ্রব্যটির বাজারমূল্য (Market Price) = 100 টাকা।
• ছাড় দেওয়ার পর বিক্রয়মূল্য (Selling Price 1) = 100 - (100-এর 20%) = 80 টাকা।
• ধরি, ক্রয়মূল্য 100 টাকা। 60% লাভে বিক্রয়মূল্য (Selling Price 2) = 100 + 60 = 160 টাকা।
• এখন প্রশ্ন হলো, 80 টাকার থেকে 160 টাকা কত শতাংশ বেশি?
• বৃদ্ধি = 160 - 80 = 80 টাকা।
• শতাংশ বৃদ্ধি = (বৃদ্ধি / প্রাথমিক বিক্রয়মূল্য) × 100 = (80 / 80) × 100 = 100%।

দ্রষ্টব্য: প্রশ্নটি সম্ভবত ক্রয়মূল্যের উপর 60% লাভ বোঝাতে চেয়েছে। বাজার মূল্যের উপর লাভ একটি অস্বাভাবিক ধারণা। ক্রয়মূল্য 100 টাকা ধরে সমাধান করা হলো।

ব্যাখ্যা:

• ক্রমিক সংখ্যার ক্ষেত্রে গড় সর্বদা মাঝের সংখ্যাটি হয়।
• যেহেতু 7টি সংখ্যা আছে, তাই মাঝের সংখ্যাটি হলো চতুর্থ সংখ্যা।
• সুতরাং, চতুর্থ সংখ্যাটি = 47।
• সংখ্যাগুলি হলো: (47-6), (47-4), (47-2), 47, (47+2), (47+4), (47+6)।
• অর্থাৎ, 41, 43, 45, 47, 49, 51, 53।
• বৃহত্তম সংখ্যাটি হলো 53।

ব্যাখ্যা:

• ধরি, দৈর্ঘ্য = 7x মিটার এবং প্রস্থ = 3x মিটার।
• আয়তক্ষেত্রের পরিসীমা = 2 × (দৈর্ঘ্য + প্রস্থ) = 2 × (7x + 3x) = 2 × 10x = 20x।
• প্রশ্নানুসারে, 20x = 840 => x = 840 / 20 = 42।
• ক্ষেত্রটির দৈর্ঘ্য = 7x = 7 × 42 = 294 মিটার।

ব্যাখ্যা:

• 1 ডজন = 12টি, 2 ডজন = 24টি।
• 12টি গাড়ির দাম = 12 × 701 = 8412 টাকা।
• 24টি বাসের দাম = 24 × 399 = 9576 টাকা।
• মোট দাম = 8412 + 9576 = 17988 টাকা।

ব্যাখ্যা: অংশীদারি কারবারে লাভ বিনিয়োগের অনুপাতে ভাগ হয়। এখানে বিনিয়োগের অনুপাত 5000:4000 বা 5:4। কিন্তু মোট কত টাকা লাভ হয়েছে তা বলা নেই। তাই অমিতের লাভের অংশ নির্ণয় করা সম্ভব নয়।

ব্যাখ্যা:

• গণনার সুবিধার জন্য 63.69 ≈ 64 এবং 147.679% ≈ 150% - 2.5% ধরে নেওয়া যেতে পারে।
• 64-এর 150% = 64 + (64-এর 50%) = 64 + 32 = 96।
• 64-এর 2.5% = 64 × (2.5/100) = 1.6।
• আনুমানিক মান = 96 - 1.6 = 94.4।
• প্রদত্ত বিকল্পগুলির মধ্যে সবচেয়ে কাছের উত্তর হলো 94।

ব্যাখ্যা:

• মোট খরচ = 15% + 30% + 10% = 55%।
• সঞ্চয় = 100% - 55% = 45%।
• প্রশ্নানুসারে, আয়ের 45% = 3213 টাকা।
• ধরি, মোট আয় x টাকা। তাহলে, x × (45/100) = 3213।
• x = (3213 × 100) / 45 = (3213 × 20) / 9 = 357 × 20 = 7140 টাকা।

ব্যাখ্যা:

• ধরি, সংখ্যাটি x।
• সংখ্যাটির পাঁচের তিন অংশ = 3x/5।
• পার্থক্য = x - (3x/5) = (5x - 3x) / 5 = 2x/5।
• প্রশ্নানুসারে, 2x/5 = 86 => x = (86 × 5) / 2 = 43 × 5 = 215।

দ্রষ্টব্য: প্রশ্ন ও বিকল্পে অসঙ্গতি আছে। প্রদত্ত কোনো বিকল্পই সঠিক নয়।

ব্যাখ্যা: শিক্ষকের বয়স নির্ণয় করার জন্য শ্রেণিকক্ষে মোট ছাত্রছাত্রীর সংখ্যা জানা প্রয়োজন। সেই তথ্য দেওয়া না থাকায় উত্তর নির্ণয় করা সম্ভব নয়।

ব্যাখ্যা:

• b = c + 10
• a = b + 2 = (c + 10) + 2 = c + 12
• a + b + c = 130
• (c + 12) + (c + 10) + c = 130
• 3c + 22 = 130 => 3c = 108 => c = 36
• b = 36 + 10 = 46
• a = 46 + 2 = 48
• এখন, (b + c) - a = (46 + 36) - 48 = 82 - 48 = 34।

ব্যাখ্যা:

• বিক্রেতা 1000 গ্রামের দাম নিচ্ছে, কিন্তু দিচ্ছে 950 গ্রাম।
• তার লাভ হচ্ছে = 1000 - 950 = 50 গ্রাম।
• লাভের শতাংশ সর্বদা যা দেওয়া হয় তার উপর গণনা করা হয়।
• লাভের হার = (লাভ / প্রদত্ত পরিমাণ) × 100
• = (50 / 950) × 100 = (5 / 95) × 100 = (1 / 19) × 100 = 100/19 % = 5 5/19%।

ব্যাখ্যা:

ধরি, প্রথম সংখ্যাটি x এবং দ্বিতীয় সংখ্যাটি y।

প্রশ্নানুসারে, x-এর 80% = y-এর 3/5 অংশ।

⇒ x × (80/100) = y × (3/5)

⇒ x × (4/5) = y × (3/5)

⇒ 4x/5 = 3y/5

উভয় পক্ষকে 5 দিয়ে গুণ করে পাই,

⇒ 4x = 3y

⇒ x/y = 3/4

সুতরাং, সংখ্যা দুটির অনুপাত হলো x : y = 3 : 4।

ব্যাখ্যা:

• সূত্র: যদি কোনো নির্দিষ্ট দূরত্ব x কিমি/ঘণ্টা বেগে গিয়ে y কিমি/ঘণ্টা বেগে ফিরে আসা হয়, তবে গড় গতিবেগ = 2xy / (x + y)।
• এখানে x = 15, y = 35।
• গড় গতিবেগ = (2 × 15 × 35) / (15 + 35)
• = 1050 / 50 = 21 কিমি/ঘণ্টা।

ব্যাখ্যা:

• ধাপ ১: X কত টাকায় Y-কে বিক্রি করল।
  • বিক্রয়মূল্য = 150000 + (150000-এর 5%) = 150000 + 7500 = 157500 টাকা।
  • এই লেনদেনে X-এর লাভ = 7500 টাকা।
• ধাপ ২: Y কত টাকায় X-কে ফিরিয়ে দিল।
  • Y-এর ক্রয়মূল্য = 157500 টাকা।
  • Y-এর 2% ক্ষতি = 157500 × (2/100) = 3150 টাকা।
  • Y-এর বিক্রয়মূল্য = 157500 - 3150 = 154350 টাকা। (এই দামে X দ্রব্যটি తిరిగి কিনল)
• ধাপ ৩: X-এর মোট লাভ বা ক্ষতি নির্ণয়।
  • প্রথম লেনদেন: X এর লাভ +7500 টাকা।
  • দ্বিতীয় লেনদেন: X তার 150000 টাকার জিনিসটি 154350 টাকায় ফেরত কিনল। অর্থাৎ, সে অতিরিক্ত খরচ করল 154350 - 150000 = 4350 টাকা।
  • মোট লাভ = প্রাথমিক লাভ - পরবর্তী অতিরিক্ত খরচ = 7500 - 4350 = 3150 টাকা লাভ।

ব্যাখ্যা:

• সূত্র: M₁D₁H₁ = M₂D₂H₂, যেখানে M=পাম্পের সংখ্যা, D=দিন, H=ঘণ্টা।
• প্রদত্ত মান:
  • M₁ = 49, D₁ = 6 ½ = 13/2, H₁ = 8
  • M₂ = 196, D₂ = ?, H₂ = 5
• মান বসিয়ে সমাধান:
  • 49 × (13/2) × 8 = 196 × D₂ × 5
  • 49 × 13 × 4 = 196 × D₂ × 5
  • D₂ = (49 × 13 × 4) / (196 × 5)
  • D₂ = (1 × 13 × 4) / (4 × 5) (কারণ 196 ÷ 49 = 4)
  • D₂ = 13 / 5 = 2 3/5 দিন।