অধ্যায়: ছায়া প্রকাশনী (Practice Set 1)

সহজ সমাধান:
ধাপ ১: গতিবেগ এবং সময়ের সম্পর্ক ব্যস্তানুপাতিক। অর্থাৎ, গতিবেগ কমলে সময় বাড়ে।
গতির অনুপাত = স্বাভাবিক গতি : নতুন গতি = 1 : 3/4 = 4 : 3
ধাপ ২: যেহেতু গতি এবং সময় ব্যস্তানুপাতিক, তাই সময়ের অনুপাত হবে গতির অনুপাতের বিপরীত।
সময়ের অনুপাত = স্বাভাবিক সময় : নতুন সময় = 3 : 4
ধাপ ৩: সময়ের অনুপাতের পার্থক্য হল (4 - 3) = 1 ইউনিট।
প্রশ্ন অনুযায়ী, এই 1 ইউনিট পার্থক্যের জন্যই 16 মিনিট দেরি হয়। সুতরাং, 1 ইউনিট = 16 মিনিট।
ধাপ ৪: স্বাভাবিক সময় হল 3 ইউনিট।
স্বাভাবিক সময় = 3 × 16 = 48 মিনিট।

সহজ সমাধান:
ধাপ ১: A কাজটি করে 18 দিনে।
B কাজটি করে A-এর অর্ধেক সময়ে, অর্থাৎ 18 / 2 = 9 দিনে।
ধাপ ২: তাদের একদিনের কাজের পরিমাণ নির্ণয় করি:
A একদিনে করে কাজের 1/18 অংশ।
B একদিনে করে কাজের 1/9 অংশ।
ধাপ ৩: তারা একসাথে একদিনে কাজ করবে:
(1/18 + 1/9) অংশ = (1 + 2) / 18 অংশ = 3/18 = 1/6 অংশ।

সহজ সমাধান:
ধাপ ১: প্রথমে মিশ্রণের ক্রয়মূল্য (Cost Price) বের করতে হবে।
বিক্রয়মূল্য (SP) = 194.40 টাকা, লাভ = 20%
ক্রয়মূল্য (CP) = SP / (1 + লাভ/100) = 194.40 / 1.20 = 162 টাকা।
ধাপ ২: এখন অ্যালিগেশন পদ্ধতি ব্যবহার করে অনুপাত নির্ণয় করি:
প্রথম প্রকার চায়ের দাম: 192 টাকা
দ্বিতীয় প্রকার চায়ের দাম: 150 টাকা
মিশ্রণের ক্রয়মূল্য: 162 টাকা
ধাপ ৩: অনুপাত নির্ণয়:
(192 - 162) = 30
(162 - 150) = 12
নির্ণেয় অনুপাত = 12 : 30
ধাপ ৪: অনুপাতটিকে সরলীকরণ করে পাই:
12 : 30 = 2 : 5

সহজ সমাধান:
ধাপ ১: আমরা জানি, (লাভ) = (মূলধন) × (সময়)। সুতরাং, (মূলধন) = (লাভ) / (সময়)।
ধাপ ২: মূলধনের অনুপাত হবে (লাভের অনুপাত) / (সময়ের অনুপাত)।
লাভের অনুপাত = 5 : 7 : 8
সময়ের অনুপাত = 14 : 8 : 7
ধাপ ৩: মূলধনের অনুপাত = (5/14) : (7/8) : (8/7)
ধাপ ৪: অনুপাতটিকে পূর্ণসংখ্যায় আনতে হরগুলির (14, 8, 7) ল.সা.গু. (LCM) 56 দিয়ে গুণ করতে হবে।
(5/14 × 56) : (7/8 × 56) : (8/7 × 56) = (5 × 4) : (7 × 7) : (8 × 8) = 20 : 49 : 64

সহজ সমাধান:
ধাপ ১: ট্রেন যখন একটি খুঁটি অতিক্রম করে, তখন সে নিজের দৈর্ঘ্যের সমান দূরত্ব অতিক্রম করে।
ধাপ ২: ট্রেনের গতিবেগকে কিমি/ঘণ্টা থেকে মিটার/সেকেন্ডে পরিবর্তন করতে হবে।
গতিবেগ = 60 কিমি/ঘণ্টা = 60 × (5/18) মি/সে
ধাপ ৩: ট্রেনটির দৈর্ঘ্য (অতিক্রান্ত দূরত্ব) = গতিবেগ × সময়
দৈর্ঘ্য = [60 × (5/18)] × 9 = (300/18) × 9 = 300/2 = 150 মিটার।

সহজ সমাধান:
ধাপ ১: ট্রেন দুটি বিপরীত দিক থেকে আসায় তাদের আপেক্ষিক গতিবেগ হবে গতিবেগ দুটির যোগফল।
আপেক্ষিক গতিবেগ = 120 + 80 = 200 কিমি/ঘণ্টা।
ধাপ ২: আপেক্ষিক গতিবেগকে মি/সে-এ পরিবর্তন করি:
200 × (5/18) মি/সে = 1000/18 মি/সে।
ধাপ ৩: 9 সেকেন্ডে অতিক্রান্ত মোট দূরত্ব = আপেক্ষিক গতিবেগ × সময়
মোট দূরত্ব = (1000/18) × 9 = 500 মিটার।
ধাপ ৪: এই মোট দূরত্ব হল ট্রেন দুটির দৈর্ঘ্যের যোগফল।
ধরি, অপর ট্রেনের দৈর্ঘ্য L মিটার।
270 + L = 500
L = 500 - 270 = 230 মিটার।

সহজ সমাধান:
ধাপ ১: 2 বছরের জন্য সরল সুদ (SI) ও চক্রবৃদ্ধি সুদের (CI) পার্থক্যের সূত্রটি হল:
পার্থক্য = P (r/100)²
ধাপ ২: প্রদত্ত মানগুলি সূত্রে বসাই:
1 = P (4/100)²
ধাপ ৩: 1 = P (1/25)² = P (1/625)
P = 625 টাকা।

সহজ সমাধান:
ধাপ ১: ধরি, C-এর বয়স = x বছর। তাহলে B-এর বয়স = 2x, এবং A-এর বয়স = (2x + 2) বছর।
ধাপ ২: প্রশ্ন অনুযায়ী, (2x + 2) + 2x + x = 27
5x + 2 = 27 => 5x = 25 => x = 5।
ধাপ ৩: B-এর বয়স = 2x = 2 × 5 = 10 বছর।

সহজ সমাধান:
ধাপ ১: পার্কের পরিসীমা = গতিবেগ × সময় = (12 × 1000/60) মি/মিনিট × 8 মিনিট = 1600 মিটার।
ধাপ ২: ধরি, দৈর্ঘ্য = 3x, প্রস্থ = 2x। পরিসীমা = 2(3x + 2x) = 10x।
10x = 1600 => x = 160।
দৈর্ঘ্য = 3x = 480 মি, প্রস্থ = 2x = 320 মি।
ধাপ ৩: ক্ষেত্রফল = 480 × 320 = 153600 বর্গমিটার।

সহজ সমাধান:
ধাপ ১: ব্যক্তির ওজন = অপসারিত জলের ওজন।
ধাপ ২: অপসারিত জলের আয়তন = (3 মি × 2 মি) × 0.01 মি = 0.06 ঘনমিটার।
ধাপ ৩: অপসারিত জলের ভর = আয়তন × ঘনত্ব = 0.06 × 1000 = 60 কেজি।
সুতরাং, ব্যক্তির ভরও 60 কেজি।

সহজ সমাধান:
ধাপ ১: সংখ্যাগুলি হল 3×12=36, 4×12=48, 6×12=72।
ধাপ ২: 36, 48, 72 এর ল.সা.গু. হল 144।
বিকল্প পদ্ধতি: ল.সা.গু. = গ.সা.গু. × (3,4,6 এর ল.সা.গু.) = 12 × 12 = 144।

সহজ সমাধান:
ধাপ ১: এটি a³ - b³ = (a - b)(a² + ab + b²) সূত্রের উপর ভিত্তি করে।
ধাপ ২: রাশিটি হল (a³ - b³) / (a² + ab + b²), যার মান (a - b)।
ধাপ ৩: মান = 0.96 - 0.1 = 0.86।

সহজ সমাধান:
ধাপ ১: 10 চেয়ার = 4 টেবিল => 5 চেয়ার = 2 টেবিল।
ধাপ ২: 15 চেয়ার + 2 টেবিল = 15 চেয়ার + 5 চেয়ার = 20 চেয়ার = 4000 টাকা। 1 চেয়ার = 200 টাকা।
ধাপ ৩: 1 টেবিল = 2.5 চেয়ার = 2.5 × 200 = 500 টাকা।
ধাপ ৪: 12 চেয়ার ও 3 টেবিলের দাম = (12×200) + (3×500) = 2400 + 1500 = 3900 টাকা।

সহজ সমাধান:
ধাপ ১: (a - b)² = a² + b² - 2ab।
ধাপ ২: (3)² = 29 - 2ab => 9 = 29 - 2ab।
ধাপ ৩: 2ab = 29 - 9 = 20।
ধাপ ৪: ab = 20 / 2 = 10।

সহজ সমাধান:
ধাপ ১: 216-এর ঘনমূল = 6।
ধাপ ২: দশমিকের পর 6টি অঙ্ক থাকায় ঘনমূলে দশমিকের পর 6/3=2টি অঙ্ক থাকবে।
ধাপ ৩: ফলাফল: 0.06।

সহজ সমাধান:
ধাপ ১: 10 দিন পর, 150 জন লোকের জন্য অবশিষ্ট খাদ্য ছিল (45-10) = 35 দিনের।
ধাপ ২: নতুন লোক সংখ্যা = 150 - 25 = 125 জন।
ধাপ ৩: M₁D₁ = M₂D₂ => 150 × 35 = 125 × D₂।
ধাপ ৪: D₂ = (150 × 35) / 125 = 42 দিন।

সহজ সমাধান:
ধাপ ১: প্রতি ঘণ্টায় পাইপের কাজের পরিমাণ: A=1/5, B=1/6, C=-1/12।
ধাপ ২: 1 ঘণ্টায় মোট কাজ = (1/5 + 1/6 - 1/12) = (12+10-5)/60 = 17/60 অংশ।
ধাপ ৩: সম্পূর্ণ পূর্ণ হতে সময় লাগবে = 1 / (17/60) = 60/17 = 3 9/17 ঘণ্টা।

সহজ সমাধান:
ধাপ ১: অনুকূলে গতিবেগ = 13 + 4 = 17 কিমি/ঘণ্টা।
ধাপ ২: সময় = দূরত্ব / গতিবেগ = 68 / 17 = 4 ঘণ্টা।

ব্যাখ্যা:
প্রশ্নটি সম্ভবত ভেতরের মোট পৃষ্ঠতলের ক্ষেত্রফল জানতে চেয়েছে।
গভীরতা = 1.25 মিটার।
মোট ক্ষেত্রফল = (মেঝের ক্ষেত্রফল) + (চার দেওয়ালের ক্ষেত্রফল)
= (6 × 4) + [2 × (6 + 4) × 1.25]
= 24 + 25 = 49 বর্গমিটার।

ব্যাখ্যা:
SENTENCE শব্দটি তৈরি করতে তিনটি 'E' প্রয়োজন।
কিন্তু DISCOUNTENANCE শব্দটিতে মাত্র দুটি 'E' আছে।
তাই SENTENCE শব্দটি তৈরি করা সম্ভব নয়।

ব্যাখ্যা:
ধাপে ধাপে বসার ব্যবস্থাটি সাজানো যাক:
1. "রুবি বেঞ্চের যে-কোনো প্রান্তে বসেছে।" ধরি, রুবি বাম প্রান্তে। **রুবি, _, _, _, _, _, _**
2. "রুবির ঠিক পাশে পাখি বসেছে।" **রুবি, পাখি, _, _, _, _, _**
3. "সৌম্যা ও পাখির ঠিক পাশে বসেছে পারুল।" **রুবি, পাখি, পারুল, সৌম্যা, _, _, _**
4. "অ্যানা ও রুবির মাঝখানে তিনজন বসেছে।" **রুবি, পাখি, পারুল, সৌম্যা, অ্যানা, _, _**
5. "শিখা এমন একজনের পাশে বসেছে যে, অন্তিম স্থানে বসেছে।" **রুবি, পাখি, পারুল, সৌম্যা, অ্যানা, শিখা, _**
6. অবশিষ্ট স্থানে গরিমা বসবে।
চূড়ান্ত সজ্জা: রুবি, পাখি, পারুল, সৌম্যা, অ্যানা, শিখা, গরিমা।
সাতজনের মধ্যে ঠিক মধ্যবর্তী (চতুর্থ) স্থানে সৌম্যা বসেছে।