অধ্যায়: বিগত বছরের প্রশ্নপত্র (সেট ৩)

দিন/রাত

CLASS NO: 03

প্রশ্ন এবং সঠিক উত্তরসহ বিস্তারিত ব্যাখ্যা

প্রশ্ন 41

2 সেমি উচ্চতার একটি বস্তুকে একটি অবতল দর্পণ থেকে 6 সেমি দূরে রাখা হল, যার ফোকাস দৈর্ঘ্য 8 সেমি। উৎপন্ন প্রতিবিম্বের দৈর্ঘ্য ____ এবং ____।

সঠিক উত্তর: (B) 2 সেমির বেশি, সমশীর্ষ

ব্যাখ্যা (গাণিতিক সমাধান):

  • প্রদত্ত তথ্য:
    • বস্তুর উচ্চতা (h₁) = 2 cm
    • বস্তুর দূরত্ব (u) = -6 cm (দর্পণের সামনে তাই ঋণাত্মক)
    • ফোকাস দৈর্ঘ্য (f) = -8 cm (অবতল দর্পণের ফোকাস ঋণাত্মক)
  • দর্পণের সূত্র: 1/v + 1/u = 1/f

    1/v + 1/(-6) = 1/(-8)

    1/v = 1/6 - 1/8 = (4-3)/24 = 1/24

    v = +24 cm (প্রতিবিম্ব দর্পণের পিছনে গঠিত হয়েছে, তাই এটি অসৎ)

  • বিবর্ধন (m): m = -v/u = h₂/h₁

    m = - (24) / (-6) = +4

  • প্রতিবিম্বের উচ্চতা (h₂):

    h₂ = m × h₁ = 4 × 2 = 8 cm

  • সিদ্ধান্ত:
    • প্রতিবিম্বের দৈর্ঘ্য (8 cm) বস্তুর দৈর্ঘ্য (2 cm) থেকে বেশি।
    • বিবর্ধন (m) ধনাত্মক (+4) হওয়ায় প্রতিবিম্বটি সমশীর্ষ (erect) এবং অসৎ।

প্রশ্ন 42

প্রদত্ত বিবৃতিগুলি বিবেচনা করে সঠিক উত্তরটি নির্ধারণ করুন।

বিবৃতি 1: ডোবেরেইনার প্ল্যাটিনামের অনুঘটক ধর্ম সম্পর্কে পরীক্ষা করেন...

বিবৃতি 2: ডোবেরেইনার জেনা বিশ্ববিদ্যালয়ের রসায়ন ও ফার্মাসির অধ্যাপক ছিলেন।

সঠিক উত্তর: (B) উভয় বিবৃতিই ঠিক

ব্যাখ্যা: জোহান ডোবেরেইনার ত্রয়ী সূত্রের (Law of Triads) জন্য বিখ্যাত। দুটি বিবৃতিই ঐতিহাসিক ভাবে সত্য। তিনি প্ল্যাটিনামের অনুঘটকীয় ধর্ম নিয়ে গবেষণা করেছিলেন এবং জার্মানির জেনা বিশ্ববিদ্যালয়ে অধ্যাপক ছিলেন।

প্রশ্ন 43

বায়ুমণ্ডলে প্রতিসরণের কারণে আকাশে তারার অবস্থান তার স্বাভাবিক অবস্থানের তুলনায় একটু ____ দেখায় এবং দিগন্তের দিক থেকে দেখলে এর আপাত অবস্থান ____ মনে হয়। এর ফলে তারা ঝিকমিক করে।

সঠিক উত্তর: (B) উঁচুতে, ক্রমাগত পরিবর্তনশীল

ব্যাখ্যা: পৃথিবীর বায়ুমণ্ডলের বিভিন্ন স্তরের ঘনত্ব ও তাপমাত্রা আলাদা হওয়ায়, তারার আলো প্রতিসৃত হতে হতে বেঁকে আমাদের চোখে পৌঁছায়। এই কারণে আমরা তারাটিকে তার প্রকৃত অবস্থানের চেয়ে কিছুটা উঁচুতে দেখি। বায়ুমণ্ডলের স্তরগুলি স্থির না থেকে sürekli নড়াচড়া করায়, আলোর প্রতিসরণের পরিমাণও ক্রমাগত বদলাতে থাকে, তাই তারার আপাত অবস্থান ক্রমাগত পরিবর্তনশীল মনে হয় এবং তারাগুলিকে মিটমিট করতে বা ঝিকমিক করতে দেখা যায়।

প্রশ্ন 44

একটি আলোকরশ্মি বায়ু থেকে একটি তলে 45° কোণে আপতিত হল, যার প্রতিসরাঙ্ক √2। আলোকরশ্মি ____ কোণে প্রতিসৃত হবে।

সঠিক উত্তর: (A) 30°

ব্যাখ্যা (গাণিতিক সমাধান):

ধাপ ১: স্নেলস সূত্র
n₁ sin i = n₂ sin r
এখানে, n₁ = 1 (বায়ু), i = 45°, n₂ = √2, r = ?

ধাপ ২: মান বসানো
1 × sin 45° = √2 × sin r
1/√2 = √2 sin r

ধাপ ৩: সরলীকরণ
sin r = 1 / (√2 × √2) = 1/2

ধাপ ৪: প্রতিসরণ কোণ নির্ণয়
r = sin⁻¹(1/2) = 30°

✅ সঠিক উত্তর: (A) 30°

প্রশ্ন 45

একটি বস্তুকে একটি অবতল দর্পণের সামনে 24 সেমি দূরে রাখা হল, যার ফোকাস দূরত্ব 6 সেমি। বস্তুটির দর্পণ দ্বারা বিবর্ধন হবে ____।

সঠিক উত্তর: (A) -1/3

ব্যাখ্যা (গাণিতিক সমাধান):

  • প্রদত্ত তথ্য: বস্তুর দূরত্ব (u) = -24 cm, ফোকাস দূরত্ব (f) = -6 cm (অবতল দর্পণ)
  • দর্পণের সূত্র: 1/v + 1/u = 1/f

    1/v + 1/(-24) = 1/(-6) => 1/v = 1/24 - 1/6 = -3/24 = -1/8

    v = -8 cm

  • বিবর্ধন (m): m = -v/u

    m = -(-8) / (-24) = 8 / (-24) = -1/3

  • বিবর্ধনের মান ঋণাত্মক হওয়ায় প্রতিবিম্বটি সদ ও অবশীর্ষ (উল্টো)।

প্রশ্ন 46

যদি 3 ও -7 কোনো দ্বিঘাত সমীকরণের বীজদ্বয় হয়, তাহলে দ্বিঘাত সমীকরণটি হবে—

সঠিক উত্তর: (D) x² + 4x – 21 = 0

ব্যাখ্যা (গাণিতিক সমাধান):

  • দ্বিঘাত সমীকরণ গঠনের সূত্র: x² - (বীজদ্বয়ের যোগফল)x + (বীজদ্বয়ের গুণফল) = 0
  • বীজদ্বয়ের যোগফল: 3 + (-7) = -4
  • বীজদ্বয়ের গুণফল: 3 × (-7) = -21
  • সমীকরণ: x² - (-4)x + (-21) = 0 => x² + 4x - 21 = 0

প্রশ্ন 47

যদি একটি ভগ্নাংশে লব 10% বাড়ানো হয় এবং হর 5% কমানো হয়, তাহলে ভগ্নাংশটি হয় 4/5। প্রকৃত ভগ্নাংশটি নির্ণয় করো।

সঠিক উত্তর: (B) 38/55

ব্যাখ্যা (গাণিতিক সমাধান):

  • ধরি, প্রকৃত ভগ্নাংশটি x/y।
  • নতুন লব: x + 0.10x = 1.1x
  • নতুন হর: y - 0.05y = 0.95y
  • প্রশ্নানুযায়ী: (1.1x) / (0.95y) = 4/5

    x/y = (4/5) × (0.95 / 1.1) = (4/5) × (95 / 110) = (4 × 19) / (5 × 22) = 76 / 110 = 38/55

প্রশ্ন 48

আয়তক্ষেত্রের ছোটো বাহু বড়ো বাহুর থেকে 10 সেমি কম। ক্ষেত্রফল পরিসীমার 6 গুণ। বড়ো বাহুর দৈর্ঘ্য (সেমি) কত?

সঠিক উত্তর: (C) 30

ব্যাখ্যা (গাণিতিক সমাধান):

  • ধরি, বড়ো বাহুর দৈর্ঘ্য = x সেমি, ছোটো বাহুর দৈর্ঘ্য = (x - 10) সেমি।
  • পরিসীমা: 2(x + x - 10) = 4x - 20
  • ক্ষেত্রফল: x(x - 10) = x² - 10x
  • প্রশ্নানুযায়ী: x² - 10x = 6(4x - 20)

    x² - 10x = 24x - 120 => x² - 34x + 120 = 0

    (x - 30)(x - 4) = 0

  • x = 30 অথবা x = 4। x = 4 হলে ছোট বাহু ঋণাত্মক হবে, যা অসম্ভব।
  • সুতরাং, বড়ো বাহুর দৈর্ঘ্য 30 সেমি।

প্রশ্ন 49

তিনটি নল A, B, C যথাক্রমে একটি ট্যাঙ্ককে 5 ঘন্টা, 8 ঘন্টা ও 12 ঘন্টায় পূর্ণ করতে পারে। যদি সব নল একইসঙ্গে খোলা হয়, তবে ট্যাঙ্ক সম্পূর্ণ ভরতে কতসময় লাগবে (ঘন্টায়)—

সঠিক উত্তর: (B) 2 22/49

ব্যাখ্যা (গাণিতিক সমাধান):

  • একত্রে 1 ঘন্টায় পূর্ণ করে = (1/5 + 1/8 + 1/12) অংশ
  • লসাগু (5, 8, 12) = 120
  • = (24 + 15 + 10) / 120 = 49/120 অংশ
  • সম্পূর্ণ ট্যাঙ্ক ভরতে সময় লাগবে = 120/49 ঘন্টা = 2 22/49 ঘন্টা।

প্রশ্ন 50

ধার্যমূল্যের ওপর পরপর দুটি ছাড় 20% ও 15% করে দিয়ে দোকানদার একটি দ্রব্য 571.20 টাকায় বিক্রি করে। যদি কোনো ছাড় না দিত সে 12% লাভ করত। দ্রব্যটির ক্রয়মূল্য কত টাকা?

সঠিক উত্তর: (C) 750

ব্যাখ্যা (গাণিতিক সমাধান):

  • ধাপ ১: ধার্যমূল্য নির্ণয়:

    ধরি, ধার্যমূল্য (M) = M টাকা।

    M × (80/100) × (85/100) = 571.20 => M = (571.20 × 100 × 100) / (80 × 85) = 840 টাকা।

  • ধাপ ২: ক্রয়মূল্য নির্ণয়:

    ছাড় না দিলে বিক্রয়মূল্য = 840 টাকা। লাভ = 12%।

    ধরি, ক্রয়মূল্য (C) = C টাকা।

    C × (112/100) = 840 => C = (840 × 100) / 112 = 750 টাকা।

প্রশ্ন 51

অণু, বিদির থেকে চারগুণ কর্মক্ষম। একত্রে তারা 12 ঘন্টায় কাজটি শেষ করে। অণু একা কাজটি কত ঘন্টায় শেষ করে?

সঠিক উত্তর: (C) 15

ব্যাখ্যা (গাণিতিক সমাধান):

  • ধরি, অণু কাজটি করে x ঘন্টায়, বিদির করে 4x ঘন্টায়।
  • একত্রে 1 ঘন্টায় করে = (1/x + 1/4x) = 5/4x অংশ।
  • সম্পূর্ণ কাজ করে 12 ঘন্টায়, তাই 4x/5 = 12 => 4x = 60 => x = 15।
  • অণু একা কাজটি 15 ঘন্টায় শেষ করে।

প্রশ্ন 52

কোনো তথ্যের সংখ্যাগুরুমান, যৌগিক গড়ের থেকে 16.2 বড়ো। সংখ্যাগুরুমান মধ্যমার থেকে ____ বেশি। (empirical সম্পর্ক অনুযায়ী)।

সঠিক উত্তর: (A) 10.8

ব্যাখ্যা (গাণিতিক সমাধান):

  • অভিজ্ঞতামূলক সম্পর্ক: Mode = 3 × Median - 2 × Mean
  • প্রদত্ত: Mode = Mean + 16.2
  • সমাধান: Mean + 16.2 = 3 × Median - 2 × Mean => 3 × Mean + 16.2 = 3 × Median => Mean + 5.4 = Median
  • পার্থক্য (Mode - Median): (Mean + 16.2) - (Mean + 5.4) = 16.2 - 5.4 = 10.8

প্রশ্ন 53

কোনো আসলের ওপর 8 বছরে সরলসুদ যদি আসলের 11/25 অংশ হয়, সুদের হার হবে—

সঠিক উত্তর: (D) 5 1/2%

ব্যাখ্যা (গাণিতিক সমাধান):

  • ধরি, আসল (P), সময় (T) = 8 বছর, সুদ (I) = 11P/25, হার (R) = ?
  • সূত্র: I = (P × R × T) / 100
  • 11P/25 = (P × R × 8) / 100
  • 11/25 = 8R / 100 => R = (11 × 100) / (25 × 8) = 11/2 = 5.5% বা 5 1/2%।

প্রশ্ন 54

একটি গোলকের ব্যাস 14 সেমি হলে বক্রতলের ক্ষেত্রফল হবে—

সঠিক উত্তর: (C) 616 বর্গসেমি

ব্যাখ্যা (গাণিতিক সমাধান):

  • ব্যাস = 14 সেমি, ব্যাসার্ধ (r) = 7 সেমি।
  • সূত্র: গোলকের বক্রতলের ক্ষেত্রফল = 4πr²
  • = 4 × (22/7) × 7² = 4 × 22 × 7 = 616 বর্গসেমি।

প্রশ্ন 55

আয়তঘনের দৈর্ঘ্য, প্রস্থ ও উচ্চতা যথাক্রমে 3 সেমি, 4 সেমি 5 সেমি হলে আয়তন হবে (ঘনসেমিতে)—

সঠিক উত্তর: (A) 60

ব্যাখ্যা (গাণিতিক সমাধান):

  • সূত্র: আয়তঘনের আয়তন = দৈর্ঘ্য × প্রস্থ × উচ্চতা
  • আয়তন = 3 × 4 × 5 = 60 ঘনসেমি।

প্রশ্ন 56

(64/25)⁻³/² x (2/5)⁴ ÷ ⁵√(32)⁻³ -এর মান—

সঠিক উত্তর: (B) 1/20

ব্যাখ্যা (গাণিতিক সমাধান):

ধাপ ১: (64/25)⁻³/² = ((8/5)²)⁻³/² = (8/5)⁻³ = (5/8)³ = 125/512

ধাপ ২: (2/5)⁴ = 16/625

ধাপ ৩: ⁵√(32)⁻³ = (2)⁻³ = 1/8

ধাপ ৪: সব একত্র করা
(125/512) × (16/625) ÷ (1/8) = (125/512) × (16/625) × 8

ধাপ ৫: সরলীকরণ
= (125 × 16 × 8) / (512 × 625) = 16000 / 320000 = 16/320 = 1/20

✅ সঠিক উত্তর: (B) 1/20

প্রশ্ন 57

একটি শহরের বর্তমান জনসংখ্যা 15625 জন। পরপর দুটি বছরে যথাক্রমে 8% ও 12% করে জনসংখ্যা বৃদ্ধি পেলেও তৃতীয় বছরে 22% হ্রাস পায়। তৃতীয় বছরের শেষে শহরের জনসংখ্যা কত হবে?

সঠিক উত্তর: (D) 14742

ব্যাখ্যা (গাণিতিক সমাধান):

  • চূড়ান্ত জনসংখ্যা = 15625 × (1 + 8/100) × (1 + 12/100) × (1 - 22/100)
  • = 15625 × (108/100) × (112/100) × (78/100)
  • = 15625 × (27/25) × (28/25) × (39/50)
  • = (15625 × 27 × 28 × 39) / (25 × 25 × 50) = 14742

প্রশ্ন 58

ওয়াশিং মেশিনের ধার্যমূল্য 13200 টাকা। দুটি ক্রমিক ছাড় 25% ও 15% দিয়ে খুচরো ব্যবসায়ীকে বিক্রি করা হয়। খুচরো ব্যবসায়ী 25% ছাড় দিয়ে 20% লাভ করতে চায়। তাহলে ওয়াশিং মেশিনটির নতুন ধার্যমূল্য কত টাকা হবে?

সঠিক উত্তর: (B) 13464

ব্যাখ্যা (গাণিতিক সমাধান):

ধাপ ১: খুচরো ব্যবসায়ীর ক্রয়মূল্য (CP) নির্ণয়:

  • ধার্যমূল্য = 13200 টাকা।
  • প্রথম ছাড়ের পর মূল্য = 13200 × (1 - 25/100) = 13200 × 0.75 = 9900 টাকা।
  • দ্বিতীয় ছাড়ের পর মূল্য (CP) = 9900 × (1 - 15/100) = 9900 × 0.85 = 8415 টাকা।

ধাপ ২: ব্যবসায়ীর বিক্রয়মূল্য (SP) নির্ণয়:

  • ব্যবসায়ী 20% লাভ করতে চান।
  • বিক্রয়মূল্য (SP) = CP × (1 + 20/100) = 8415 × 1.2 = 10098 টাকা।

ধাপ ৩: নতুন ধার্যমূল্য (MP₂) নির্ণয়:

  • ব্যবসায়ী ক্রেতাকে 25% ছাড় দেবেন।
  • ধরি নতুন ধার্যমূল্য MP₂।
  • MP₂ × (1 - 25/100) = SP
  • MP₂ × 0.75 = 10098
  • MP₂ = 10098 / 0.75 = 13464 টাকা।